Teoría de la inducción súbita en el aprendizaje perceptrónico (página 2)

de igual manera se pódria extrapolar esta distancia
para mas dimensiones

a "q" se le denomina "punto pareado frontal de
mínima distancia" de "p", o en su caso
correspondería a "área pareada frontal de
mínima distancia" .

De esta forma se pueden calcular las distancias fractales
di,j, para cada punto de la frontera del
patrón 1 o del patrón 0 mostrados en la figura
2.

Se busca la distancia fractal mínima posible. si la
distancia fractal hallada no es la mínima, a partir de la
respuesta generada, se puede acercar lograr la respuesta
óptima, mediante el clásico algoritmo de
convergencia perceptrónica.

Fracción fractal: corresponde a la
fracción de una arista de visión de un punto ,
desde el cual se detecte la mínima distancia fractal de un
sistema de
patrones; tal fracción especifica las coordenadas
espaciales o propiedades medibles, que determina los pesos
sinápticos de el perceptrón capáz de
reconecer tal sistema.

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Aunque el TEOREMA GENERAL DE LA INDUCCIÓN
SÚBITA, se pude aplicar a un espacio, generando un
plano recto de especificación perceptrónica, en
este artículo se tratara el teorema especial de la
inducción súbita, para generar
una única línea de especificación
perceptrónica.

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TEOREMA ESPECIAL
DE LA INDUCCIÓN SUBITA

Dados los patrones "i" e "k" continuos o discretos; inmersos
en un sistema de patrones planar . Sea z un punto del
patrón i, con coordenadas (z1,z2), sea x de coordenadas
(x1,x2), un punto pareado de mínima distancia dik de z,
perteneciente al patrón k, y sea "y" con coordenadas
(y1,y2), un punto tangencial del campo de visión de z con
una arista de visión lik; entonces existen dos puntos u y
t, ubicados respectivamente en a mitad de di,k y una
fracción de lik, tales que la línea determinada por
estos puntos, son las "especificación súbita" de
las pesos sinápticos del peceptrón monocapa que
diferencia el sistema de patrones.

Corolario de la inducción súbita en un
plano:

Sea un sistema de dos patrones i,k que se puede describir
mediante dos señales
externas, y sea "z" un punto del patrón i, de coordenadas
(z1,z2), con distancia fractal mínima dik y punto pareado
frontal de mínima distancia x perteneciente al
patrón k y coordenadas(X1,X2), y sea "y" un punto
tangencial del campo de visión de z con coordenadas
(y1,y2) pertenecientes al patrón i, y arista de
visión lik, se cumple que:

-w0/w2=2f(-x2y1-x2z1+y2z1+x1y2+x1z2-y1z2)/2(2fx1-y1+2fz1-z1)
(ec. 1.)

-w1/w2=(2fx2-y2+2fz2-z2) / (2fx1-y1+2fz1-z1) (ec- 2)

En donde:

f es fracción fractal.

w0+s1w1+s2w2 es la carga del perceptrón.

Con s1, y s2 señales del medio externo, w0 peso de
tendencia, w1, w2 pesos sinápticos asociados a las
señales externas.

APLICACIÓN

Sea un sistema perceptrónico representado por la
siguiente topología

Inducción súbita aplicada al
perceptrón p0:

Y2=12

Y1=2

X2=13

X1=0

Z2=8

Z1=2

Aplicando:

-w0/w2=2f(-x2y1-x2z1+y2z1+x1y2+x1z2-y1z2)/2(2fx1-y1+2fz1-z1)

-w1/w2=(2fx2-y2+2fz2-z2) / (2fx1-y1+2fz1-z1)

Asumiendo f=0.5 se tiene:

-w0/w2=(-13(2)-13(2)+12(2)+0+0-2(8))/2(0-2)

-w1/w2=(13-12)/(0-2)

Luego:

-w0/w2=(-26-26+24-16)/-4=11

-w1/w2=-1/2

Si w2=5

Entonces w1=2.5 y wo=-55

Prueba:

Eficiencia 100% de certeza, una iteración

Inducción súbita aplicada al
perceptrón p1:

Y2=8

Y1=2

X2=11

X1=0

Z2=5

Z1=2

Patron 1=0

Aplicando:

-w0/w2=2f(-x2y1-x2z1+y2z1+x1y2+x1z2-y1z2)/2(2fx1-y1+2fz1-z1)

-w1/w2=(2fx2-y2+2fz2-z2) / (2fx1-y1+2fz1-z1)

Asumiendo f=.5 se tiene:

-w0/w2=(-11(2)-11(2)+8(2)+0+0-2(5))/2(0-2)

-w1/w2=(11-8)/(0-2)

Luego:

-w0/w2=9.5

-w1/w2=-1.5

Si w2=-5

Entonces w1=-7.5 y wo=-47.5

Prueba

Eficiencia 100% de certeza, una iteración

Inducción súbita aplicada al
perceptrón p2:

Y2=5

Y1=2

X2=7

X1=0

Z2=2

Z1=2

Patrón 2=1

Aplicando:

-w0/w2=2f(-x2y1-x2z1+y2z1+x1y2+x1z2-y1z2)/2(2fx1-y1+2fz1-z1)

-w1/w2=(2fx2-y2+2fz2-z2) / (2fx1-y1+2fz1-z1)

Se tiene

-w0/w2=(-7(2)-7(2)+5(2)+0+0-2(2))/2(0-2)

-w1/w2=(7-5)/(0-2)

Si se asume f=.5 se tiene:

-w0/w2=5.5

-w1/w2=-1

Si w2=5

Entonces w1=5 y wo=-27.5

Prueba

Eficiencia 100% de certeza, una iteración

Conclusión

La inducción súbita reduce la complejidad
matemática
en el aprendizaje
perceptrónico, generando pesos iniciales suficientemente a
aproximados que se pueden evolucionar por el algoritmo
clásico de aprendizaje
perceptrónico o pesos iguales a los pesos de respuesta de
un perceptrón que aprende con certeza.

Autor:

Jorge Humberto Vallejo Osorio.

Docente investigador UNICIENCIA-CALI

Cali-Colombia

Abril del 2009